已知数列{an}的前n项的和为Sn，且满足A1=1/2,An+2Sn·Sn-1=0（n>=2)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/10 12:18:17
(1)判断（1/Sn)是否为等差数列？并证明！
（2）求Sn和an!
(3)求证（S1）^2+（S2）^2+.....+（Sn)^2<=1/2-1/(4n).

1.
An=Sn-S(n-1)带入原式
Sn-S(n-1)+2Sn×S(n-1)=0
两边同除Sn×S(n-1)
1/S(n-1)-1/Sn+2=0
1/Sn-1/S(n-1)=2
{1/Sn}是等差数列

2.
1/S1=1/A1=2
1/Sn=2n
Sn=1/2n
An=Sn-S(n-1)
=1/2n-1/2(n-1)
=-1/2n(n-1)
n>=2时成立，A1=1/2

3.
(Sn)^2=1/(4n^2)<=(2n-1)/(4n)^2
(S1)^2+(S2)^2+……+(Sn)^2
<=(2n-1)/(4n^2)×n
=(2n-1)/4n=1/2-1/4n